Fondamenti della meccanica atomica
Si osservi che se f(x) è funzione pari, cioè se f(— x) = f(x), tale è anche C(ω), e se f(x) è dispari, anche C(ω) è dispari. Nel primo caso la (53
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Consideriamo dapprima soltanto il primo termine, cioè poniamo b = O, e prendiamo
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Mostriamo ora un primo esempio di quantizzazione col metodo di Schrödinger, considerando una particella che possa scorrere (senza forze) su un tratto
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In questa equazione il primo e l'ultimo termine dipendono solo da r, gli altri due solo da e da : quindi l'equazione si spezza nelle due
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Si può quindi prendere per P una serie di potenze pari o di potenze dispari, col primo coefficiente arbitrario.
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per C va posto : inoltre si può osservare che il primo termine si può scrivere (come è ben noto) in un'altra forma, poichè
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Occupiamoci anzitutto degli integrali rispetto a . Il primo di essi, sostituendovi le espressioni di e conformi alla (229') diviene
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(1) Si può infatti dimostrare facilmente che l'integrale a primo membro non è mai negativo.
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e si osserva che il primo vettore deve essere la risultante degli altri due, si ha subito, dal triangolo OBC, per il teorema di Carnot,
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Un altro esempio notevole è l'operatore che figura nel primo membro dell'equazione di Schrödinger (131 ) p. II, la quale si può scrivere
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infinite righe, caratterizzate dal primo indice, e infinite colonne, caratterizzate dal secondo indice:
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È superfluo rilevare che le relazioni algebriche tra matrici conservano la stessa forma in qualunque sistema di riferimento: se p. es. nel primo
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Osservando che la prima delle differenze in parentesi è la derivata della seconda, e calcolando per parti il primo integrale si ha (se la f si
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Ma se A è hermitiano, il primo membro è nullo e quindi segue (essendo , cioè l'ortogonalità.
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che si suol giustificare dicendo che per tutti i valori di x per cui non è nullo il primo fattore, è nullo il secondo. Più esattamente diremo che la
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il primo membro si muta nell'operatore che è applicato a nel primo membro della (79).
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Se G non dipende esplicitamente da t, nel secondo membro mancherà il primo termine.
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Analogamente, in meccanica quantistica definiremo come integrale primo un'osservabile G tale che la sua derivata definita da (118) sia identicamente
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Nella meccanica classica si chiama integrale primo di un problema una espressione G (q, p) tale che si riduca a una costante se le q e le p variano
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Si vede subito che l'energia è un integrale primo se ( e solo se ) , cioè se l' hamiltoniana non contiene esplicitamente il tempo: si dirà in tal
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ed esprime che: condizione necessaria e sufficiente perchè una osservabile G (non contenente t) sia un integrale primo è che il suo operatore sia
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Di tutti gli spettri, il primo ad essere interpretato fu quello dell'idrogeno atomico, che si presenta effettivamente come il più semplice, in
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Si riconosce poi che, se la forza è centrale, è un integrale primo (come in meccanica classica). Difatti l'operatore per una particella è (v. § 19)
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e ci dice che le quantità formano una successione aritmetica, di ragione : il primo elemento di questa successione è dato dalla, (163) ed è
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(1) Più precisamente supponiamo tutte le piccole del primo ordine rispetto alle differenze : da ciò consegue che anche e le sono piccole del primo
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della perturbazione è piccolo, cioè consideriamo le , e le come quantità piccole del I ordine (1) Più precisamente supponiamo tutte le piccole del primo
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con che le risultano quantità piccole rispetto alle E (del primo ordine). Si noti che, nel caso della degenerazione completa, le sono tutte nulle.
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e potremo considerare le a come piccole del primo ordine rispetto all'unità, mentre le c sono da considerarsi in generale dell'ordine di grandezza di
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Poichè le L sono, al pari delle a, piccole del primo ordine, la seconda sommatoria sarà, in prima approssimazione, trascurabile, e resterà
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(dove il primo termine è dell'ordine dell'unità, e il secondo è una correzione, piccola del primo ordine), potremo scrivere la (184):
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Nella (189), la rappresenta il termine principale: come si vede, l'autofunzione imperturbata si approssima (a meno di termini del primo ordine) non a
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dove i coefficienti , (piccoli del primo ordine) sono legati ai dalle relazioni lineari seguenti, che si trovano subito usando la (190),
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La (204) è stata ottenuta senza approssimazioni: il suo primo e il suo terzo termine sono piccoli del primo ordine, gli altri del secondo
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dove gli elementi della matrice sono quantità piccole del primo ordine, che si tratta di determinare. La (213) diviene allora, ponendovi
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dallo stato imperturbato, ossia che differisca poco da e precisamente per termini del primo ordine (questa approssimazione sarà dunque valida per un tempo
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solo per (il primo) e per (il secondo) (si potrà verificare il primo di questi casi se , il secondo se : in entrambi i casi si ha, trascurando
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Sostituendo nei primi due termini per l'espressione ricavata dalla prima delle (235), e ricordando le (234), si riconosce che tutto il primo membro è
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Nel primo caso si ha dunque , vale a dire lo spin è diretto con certezza nel verso dell'asse z, nel secondo caso e lo spin è diretto con certezza nel
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Se si considera trascurabile il primo termine a causa del fattore , si ha l'approssimazione non relativistica
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essendo però il primo membro irrazionale nelle pk, conviene, prima di applicare la sostituzione (S), (S'), renderlo razionale isolando il radicale ed
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primo ordine rispetto al tempo. Siccome poi in ogni teoria relativistica la variabile t deve essere trattata alla stessa stregua delle coordinate
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Come si vede, questa derivata non risulta identicamente nulla, il che significa che non è un integrale primo. Consideriamo ora l'osservabile , il cui
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e cioè che l'osservabile è un integrale primo, come si era annunciato. Analogo ragionamento si potrebbe fare per le componenti y e z: se ne conclude
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primo, cioè si passi con una trasformazione di Lorentz dalle variabili a : dimostreremo che nel nuovo sistema di riferimento vale l'equazione di Dirac
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, tranne che è uguale a . Sostituendo dunque la (357) nella (356), e tenendo conto delle (358), il primo membro diviene
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cinetica positiva , indichiamo con un'autofunzione (matrice) del primo, relativa a uno stato stazionario di energia cinetica negativa : essa soddisferà
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quantico definito da certi numeri quantici , l'altro in uno stato definito da , non ha alcun significato il dire che si passa il primo elettrone nel
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naturalmente hanno la stessa forma, e il secondo differisce dal primo solo per la materiale sostituzione delle lettere con .
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dove sono gli operatori corrispondenti alle componenti dello spin del primo elettrone (formati a norma del § 45) e sono quelli del secondo
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risonanza ottica e della fluorescenza: il primo di questi è però interpretabile egualmente bene nello schema classico, come ora diremo.
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Accademia della crusca
